PRÉAMBULE

1.LES TESTS

Un test est un mécanisme qui permet de trancher entre deux hypothèses au vu des résultats d'un échantillon.
Soient H₀ et H₁, ces deux hypothèses (H₀ est appelée hypothèse nulle, H₁ hypothèse alternative), dont une et une seule est vraie. La décision aboutira à choisir H₀ ou H₁. Il y a donc 4 cas possibles schématisés dans le tableau suivant avec les probabilités correspondantes :

a et b sont les probabilités d'erreur de première et deuxième espèce :

• a probabilité de choisir H₁, alors que H₀ est vraie. Autrement dit, si l'on rejette l'hypothèse vraie, on commet une erreur de première espèce (ou erreur de type I). a symbolise le seuil de signification. Traditionnellement, on favorise deux seuils : le premier a = 0.05 correspond à un événement de cinq chances sur cent de se produire, le second a  = 0.01 correspond à une chance sur cent.
• b probabilité de conserver H₀ alors que H₁ est vraie. Si l'on accepte une hypothèse fausse alors on commet une erreur de deuxième espèce (ou erreur de type II).
  (1 - a ) est la probabilité de rejeter H₁ en ayant raison.
  (1 - b ) est la probabilité d'opter pour H₁ en ayant raison. (1 - b ) s'appelle "puissance du test". Généralement l'hypothèse alternative H₁ correspond à l'hypothèse que l'on désire mettre en évidence. De ce fait, (1 - b ) est la probabilité d'obtenir le résultat que l'on souhaite démontrer.

Il faut savoir que pour un échantillon d'effectif donné, la valeur de a est inversement reliée avec la valeur de b . Plus petites seront les probabilités de commettre une erreur de type I, plus grandes seront les probabilités de commettre une erreur de type II. La seule manière de réduire simultanément les deux types d'erreur est d'augmenter les effectifs des échantillons. Ainsi, de grands échantillons résulteront des tests statistiques avec une puissance (1 - b ) élevée.
On remarque que dans la plupart des articles de revues biologiques ou médicales rapportant l'utilisation d'un test statistique la valeur b n'est pas mentionnée.
Une des raisons souvent invoquée est la complexité du calcul de la puissance (parfois le calcul est tout simplement impossible et beaucoup de logiciels de statistiques n'en parlent même pas). Ainsi, même s'il faisait preuve de la meilleure volonté, l'utilisateur du test statistique se trouverait fréquemment dans l'impossibilité de calculer la puissance (1 - b ) d'un test.
Ce point n'est pas sans conséquences. La disparition du risque b interdit toute conclusion ferme quand, au bout du compte, on ne peut rejeter l'hypothèse nulle. Dans ce cas, ne pas rejeter l'hypothèse nulle signifie seulement qu'elle est acceptée provisoirement parce que l'on ne peut pas faire autrement. Cela ne prouve en aucune manière qu'elle est vraie. Par contre si l'on a calculé le risque de seconde espèce b , a représente la force de la preuve requise pour accepter l'hypothèse alternative, alors que b permet de connaître la puissance de la procédure et donc d'avoir une idée de la plausibilité de l'hypothèse nulle quand celle-ci a été acceptée.

Test unilatéral ou bilatéral ?
Si l'hypothèse nulle correspond le plus souvent à une égalité, il est des circonstances où l'hypothèse alternative ne correspond pas à une inégalité du type p_A ¹ p_B.
Pour un test bilatéral, nous pouvons émettre les hypothèses suivantes :

• Hypothèse nulle, H₀ : p_A = p_B
• Hypothèse alternative, H₁ : p_A ¹ p_B.

Dans les tests unilatéraux, les hypothèses deviennent :

• Hypothèse nulle, H₀ : p_A = p_B

• Hypothèse alternative, H₁ : p_A > p_B.

1.1 Les tests paramétriques :

Un test est dit paramétrique si son objet est de tester certaine hypothèse relative à un ou plusieurs paramètres d'une variable aléatoire de loi spécifiée ou non. Dans la plupart des cas, ces tests sont basés sur la considération de la loi normale et supposent donc explicitement l'existence d'une variable aléatoire de référence X suivant une loi de Laplace-Gauss ou un effectif important (>30, >40, >50 ?...) (En effet, dès qu'une variable aléatoire est la somme d'un nombre "important" de variables aléatoires indépendantes, elle suit approximativement une loi normale (et ce, indépendamment de la loi des variables qui la génèrent). C'est pour cette raison que l'on peut souvent s'affranchir des hypothèses de normalité quand les effectifs étudiés sont importants.). La question se pose alors de savoir si les résultats restent encore valables lorsque X n'est pas normale : si les résultats sont valables, on dit que le test est robuste. La robustesse d'un test par rapport à un certain modèle est donc la qualité de rester relativement insensible à certaines modifications du modèle : on constatera que les tests sur les moyennes sont robustes.

1.1.1 Le test de Student :
Ce test permet de comparer une moyenne d'un échantillon à une valeur donnée, de comparer les moyennes de deux échantillons indépendants ou de deux échantillons appariés.
L'emploi de ce test reste subordonné en général à deux conditions d'application importantes : la normalité et le caractère aléatoire et simple des échantillons. La première condition n'est toutefois pas essentielle lorsque les échantillons ont des effectifs suffisants (en pratique, la valeur de 30 est souvent retenue) pour assurer la quasi-normalité des distributions d'échantillonnage des moyennes. En plus, de ces deux conditions, nous devrons supposer, dans certains tests relatifs aux moyennes, l'égalité des variances des échantillons considérées.

1.1.1.1 Cas d'un seul échantillon :
Egalement appelé par certains auteurs test de conformité, ce test a pour but de vérifier si l'échantillon à notre disposition provient bien d'une population avec la moyenne spécifiée, µ₀, ou s'il y a une différence significative entre la moyenne de l'échantillon et la moyenne présumée de la population.
Exemple d'application :
Une usine veut vérifier le bon fonctionnement de ces machines. En effet, l'usure des machines peut impliquer que l'usine ne suit plus les normes imposées par tel ou tel organisme (l'Europe par exemple). Elle peut utiliser ce test : elle va donc tirer aléatoirement un certain nombre d'éléments de sa production, calculer sa moyenne et comparer celle-ci avec la norme imposée.
Les hypothèses que l'on souhaite tester sont :

• hypothèse nulle : H₀ : µ = µ₀

• hypothèse alternative : Elle prend trois formes :

  • H₁ : µ > µ₀ (test unilatéral à droite)

  • H₁ : µ < µ₀ (test unilatéral à gauche)

  • H₁ : µ ¹ µ₀ (test bilatéral symétrique)

 Conditions d'application du test de Student :
Le caractère de l'échantillon étant supposé aléatoire, seule l'hypothèse de normalité de la variable X doit être vérifiée par exemple avec le test de Kolmogorov-Smirnov ou plus simplement graphiquement avec un histogramme ou un diagramme de normalité tel la droite de Henry (que nous verrons ultérieurement). Cependant, on admet que ceci est vrai pour un effectif suffisamment important (n > 30).

Calcul :
Soit X une variable aléatoire distribuée selon un loi normale, la variable aléatoire définie ci-dessus suit une loi de Student avec n - 1 degrés de liberté.

t_obs =

où µ₀ est la moyenne de la population spécifiée par H₀, est la moyenne de l'échantillon, S² est la variance de l'échantillon et n la taille de l'échantillon

On compare la valeur calculée de t (t_obs) avec la valeur critique appropriée de t avec n - 1 degrés de liberté. On rejette H₀ si la valeur absolue de t_obs est supérieure à cette valeur critique.
Les valeurs critiques pour différents degrés de liberté et différents seuils de signification sont donnés par la table de Student. Pour un test unilatéral, nous prendrons la valeur t_n-1,1-a de la table et pour un test bilatéral, nous prendrons t_{n-1,1-a /2} . (La notation de t varie selon les auteurs. Nous pouvons, par exemple, la trouver sous la forme t_{a (2), n} et t_{a (1), n} avec (2) et (1) correspondant respectivement à un test bilatéral et à un test unilatéral, et n étant le degré de liberté)
Exemple :
On prélève entre deux marées 25 crabes sachant que la température de l'air est de 24,3°C. On mesure la température du corps. La question est de savoir si la température du corps est identique à celle de l'air. Les données observées sont les suivantes :

Nous voulons tester les hypothèses :

• hypothèse nulle H₀ : µ = 24,3 °C
• hypothèse alternative H₁ : µ ¹ 24,3 °C

La moyenne arithmétique des observations est égale à : = 25,03 °C
La variance est égale à : S² = 1,80 (°C)² (S² = SCE / (n-1) avec SCE : Somme des Carrés des Ecarts).
Ces deux statistiques sont des estimations de la moyenne et de la variance de la population à partir de laquelle a été tiré cet échantillon. De plus, pour respecter les conditions d'application du test de Student, cet échantillon a été prélevé parmi beaucoup d'autres et au hasard dans la population.
Nous supposons ici que les observations suivent une distribution normale et calculons la valeur :

t_obs = = 2.704

Le nombre de degrés de liberté associé au test est égal à n - 1 = 24.
Si nous choisissons un seuil de signification a de 5%, la valeur t_{n-1,1-a /2} de la table de Student est égale à : t_9;0.975 = 2.064.
Comme |t_obs| = 2.704 > 2.064, nous rejetons l'hypothèse nulle et concluons qu'à un seuil de signification de 5%, l'échantillon ne provient pas d'une population de moyenne µ = 24,3 °C.
Le problème peut être vu sous un autre angle. Avec les paramètres en notre possession, nous pouvons définir un intervalle de confiance de la moyenne µ de la population totale.

95% de la population se trouve dans la zone hachurée, soit : µ₀ - t_{n-1,1-a /2} < µ < µ₀ + t_{n-1,1-a /2}

Dans l'exemple, ci-dessus et en gardant a = 0.05, on a l'intervalle de confiance :

24.3 - 2.064 * < µ < 24.3 + 2.064 *

23.75 < µ < 24.85

or qui est égal à 25.03 °C est exclu de cet intervalle, donc l'échantillon ne provient pas de cette population de moyenne 24.3 °C et de variance (estimée) 1.80 (°C)².

Puissance du test :
Parfois, il est utile de connaître la puissance du test utilisé. C'est notamment le cas, par exemple si l'hypothèse nulle n'a pas été rejetée; rappelons que dans ce cas nous ne prouvons en aucune manière que cette hypothèse est vraie. La puissance d'un test correspond à la probabilité de mettre en évidence une différence significative alors que celle-ci existe. Elle se calcule en deux temps : d'abord la recherche de la valeur tb _{(1), n} :

tb _{(1), n} = - ta _{, n} = t_obs - ta _{, n}

ta _{, n} est la valeur lue dans la table de Student (ta _{(1), n} pour un test unilatéral et ta _{(2), n} pour un test bilatéral). Dans un second temps, cette même table permet de convertir tb _(1), n en b (risque de type II).
Néanmoins, pour une approche plus fine, il est préférable d'utiliser la table de la distribution normale réduite fournissant la fonction de répartition (Annexe 2). tb _{(1), n} est alors considérée comme une approximation de Zb ₍₁₎ qui, grâce à la table, permet de déterminer b et donc la puissance du test 1 - b .

Dans notre exemple sur les crabes :

tb _{(1), n} = - 2.064 = 2.704 - 2.064 = 0.640

La table de Student fournit la valeur de b : b > 0.25 donc 1 - b < 0.75.
Par celle de la loi normale, b = 0.2611 et la puissance du test 1 - b est égale à 0.7389.
Ce qui veut dire qu'on a 26.1% de chances de faire une erreur de type II, c'est-à-dire 73.9 % de chances de mettre en évidence une différence significative (d'obtenir le résultat que l'on souhaite démontrer). Pour améliorer la puissance d'un test, l'expérimentateur peut, par exemple, augmenter l'effectif de son échantillon.

1.1.1.2 Cas de deux échantillons indépendants :
Etant donné deux échantillons de taille n₁ et n₂, peut-on admettre qu'ils ont été prélevés dans une même population relativement à la variable étudiée, ces deux échantillons ayant été prélevés indépendamment l'un de l'autre ?
Les hypothèses à tester sont :

• hypothèse nulle : H₀ : µ₁ = µ₂

• hypothèse alternative qui prend trois formes :

  • H₁ : µ₁ > µ₂ (test unilatéral à droite)
  • H₁ : µ₁ < µ₂ (test unilatéral à gauche)
  • H₁ : µ₁ ¹ µ₂ (test bilatéral)

Conditions d'application :

• Les deux échantillons sont indépendants entre eux, sont aléatoires et ont n₁ et n₂ unités indépendantes. Cette condition est d'ordinaire satisfaite en utilisant une procédure d'aléatorisation (ou de randomisation). Procédure pour laquelle on affecte au hasard chaque individu à un groupe expérimental).
• La variable aléatoire suit une loi normale. Ce qui est vrai pour des effectifs supérieurs à 30.
• Il est aussi nécessaire de vérifier l'égalité des variances des échantillons (grâce au test de Fisher). Cette condition est indispensable pour des effectifs inégaux.

Remarques :
Plusieurs auteurs ont montré que l'hypothèse de normalité est d'importance relativement secondaire dans le test d'égalité de deux moyennes. En effet, dans certaines limites, la non-normalité des populations ne modifie pas sensiblement les risques d'erreur de première et deuxième espèce. Ceci est vrai surtout pour les distributions symétriques, même très différentes des distributions normales.
De même, l'hypothèse d'égalité des variances n'est pas fondamentale au point de vue pratique lorsque les effectifs des échantillons sont égaux. En raison de cette faible sensibilité du test à la non-normalité et à l'inégalité des variances, on dira qu'il s'agit, pour des effectifs égaux, d'un test robuste.
Par contre, lorsque les effectifs des échantillons sont inégaux, il est absolument indispensable de s'assurer de l'égalité des variances et, si cette hypothèse n'est pas vérifiée, il est indispensable d'utiliser une méthode adaptée à ces circonstances. On peut notamment procéder à une transformation de variable, destinée à stabiliser les variances, et utiliser ensuite le test de Student. Cependant, ce cas d'inégalité des variances est assez rare (voir 2° remarques du chapitre 1.1.2 test de Fisher).

Mode de calcul :
On calcule la valeur t observé (t_obs) qui suit une variable aléatoire de Student à (n = n₁ + n₂ - 2) degrés de liberté.

t_obs =

où et sont les moyennes des deux échantillons, S_p² la variance commune.
Cette dernière statistique correspond à la variance s ² de la population parentale. Elle est égale à :

S_p² = =

Si les effectifs des échantillons sont égaux, la valeur de t devient :

t_obs =

 La valeur de t est comparée à la valeur critique appropriée de t (dans la table de Student) avec (n₁ + n₂ - 2) degrés de liberté. On rejette H₀ si la valeur absolue de t_obs est supérieure à cette valeur critique. Si le test est unilatéral, nous prendrons la valeur t_{n1 + n2 - 2,1-a} (ou ta _{(2), n} ) de la table de Student. S'il est bilatéral, nous prendrons la valeur t_{n1+n2-2,1-a /2} (ou ta _{(1), n} ).
Exemple :
Une étude est réalisée en vue de comparer l'efficacité de deux fertilisants sur la croissance des plantes. On mesure la hauteur de deux lots de plantes, chacun avec un fertilisant différent. Bien sûr, nous avons cultivé la même espèce dans des conditions environnementales identiques (ensoleillement, apports d'eau, température …). Les données relevées sont les suivantes :

Nous désirons savoir s'il existe une différence significative entre les deux types de fertilisants, à un seuil de signification de 1%.
Ceci implique les hypothèses suivantes :

• hypothèse nulle H₀ : µ₁ ³ µ₂ ou µ₁ - µ₂ ³ 0

• hypothèse alternative H₁ : µ₁ < µ₂ ou µ₁ - µ₂ < 0

Nous supposons à cet instant que les échantillons suivent une distribution normale et que l'égalité des variances a été vérifiée par un test de Fisher.

S_p² = = 10.71 cm²

 t_obs = = = -2.99

Le nombre de degrés de liberté associé au test est égal à : = n₁ + n₂ - 2 = 16
La valeur de t théorique trouvée dans la table de Student, pour a = 1% est : ta _(1),16 = 1.746

Comme la valeur absolue de t calculée est supérieure à cette valeur, t_obs = |-2.99| > 1.746, nous rejetons l'hypothèse nulle au profil de l'hypothèse alternative, et concluons qu'à un seuil de signification de 1%, le deuxième fertilisant est plus efficace.

Puissance du test :
Pour mesurer la puissance d'un test, il faut dans un premier temps calculer le paramètre suivant :

f =

avec n effectif "commun" des échantillons. Si les effectifs sont inégaux n prend la valeur : n =

Les graphes de Pearson et Hartley fournissent à partir de f la puissance du test recherchée.
Dans notre exemple précédent, les échantillons sont d'effectifs inégaux, il faut donc calculer la valeur de n :

n = = 8.89

f = = 1.99

Consultons la table de Pearson et Hartley : pour un degré de liberté de 16, la puissance du test 1 - b = 0.48. Les chances de commettre une erreur de type II sont donc de 52 %.

  1.1.1.3 Cas de deux échantillons appariés :
Le test de Student pour observations pairées sert à comparer les moyennes de deux populations, dont chaque élément de l'une des populations est mis en relation avec un élément de l'autre.
Par exemple, il peut s'agir de comparer deux traitements, les données étant considérées comme des paires d'observations (première observation de la paire recevant le traitement 1 et deuxième observation recevant le traitement 2).
Aspects mathématiques :
Soit x_ij l'observation j pour la paire i (j = 1,2 et i = 1,2,...,n). Pour chaque paire d'observations on calcule la différence d_i = x_i2 - x_i1.
Le test statistique est défini par :

t_obs =

où n est le nombre de paires d'observations, est la moyenne des différences entre les observations et S_d² la variance.

Le test de Student pour observations pairées est un test bilatéral. Les hypothèses sont :

• H₀ : µ₁ - µ₂ = 0 (il n'y a pas de différence entre les traitements)
• H₁ : µ₁ - µ₂ ¹ 0 (il y a une différence entre les traitements)

On rejette l'hypothèse nulle au seuil de signification a si : |t_obs| > t_{n-1,1-a /2} où t_{n-1,1-a /2} est la valeur de la table de Student avec n - 1 degrés de liberté.
Conditions d'application :

• les échantillons ont été tirés aléatoirement
• la population des différences doit suivre une loi de Gauss. Cette condition est moins restrictive que celle de normalité des deux populations.

 Exemple :
Supposons que deux traitements soient appliqués sur 10 paires d'observations. Les données obtenues et les différences correspondantes notées d_i se trouvent dans le tableau suivant :

La moyenne est égale à = 3.2
La variance est égale à S_d² = 36
Le test statistique est égal à : t_obs = = 1.687

Si l'on choisit un seuil de signification a = 0.05, la valeur de t_9;0.975 est 2.262. Par conséquent, l'hypothèse nulle H₀ : µ₁ - µ₂ = 0 ne doit pas être rejetée puisque |t_obs| < t_9;0.975 .
Puissance du test :
Pour calculer la puissance du test, on utilise la même procédure que pour le cas d'un seul échantillon en remplaçant par et S² par S_d². ce qui donne l'équation :

tb _{(1), n} = - ta _{(2), n}

Dans notre exemple : tb _{(1), n} = 1.687 - 2.262 = -0.575
Avec la table de Student, le risque b de commettre une erreur de type II est inférieur à 25%. Donc la puissance du test est supérieur à 75%. Pour obtenir un résultat plus précis, la loi normale nous donne la valeur b = 0.28 (la puissance est donc égale à 0.72).

 1.1.2 Le test de Fisher :
Utilisé pour tester l'égalité de deux variances, il est très sensible à la non-normalité des échantillons (on suppose aussi que les échantillons sont aléatoires et ont été prélevés indépendamment les uns des autres dans deux populations). Le principe de ce test est de calculer le rapport des variances ci-dessous (avec la variance la plus grande au dénominateur) et de la comparer à la variable donnée par la table de Fisher-Snedecor avec n₁ - 1 et n₂ - 1 pour paramètres, correspondant aux degrés de liberté.

F_obs =

où n₁ et n₂ sont les effectifs des deux échantillons et S₁² et S₂² les variances.

Avec F_obs > 1
si F_obs £ F_{(n1-1,n2-1;1-a )} on accepte l'hypothèse nulle H₀ : s ₁² = s ₂² (s ₁² et s ₂² sont les variances des populations "parentales") sinon on rejette H₀.
Remarques :
Pour des effectifs égaux la valeur de F calculée se simplifie :

F_obs =

• Si on examine la table de Fisher, on remarque qu'il est difficile de rejeter l'hypothèse d'égalité des variances. Par exemple, afin de rejeter l'égalité des variances de deux échantillons de 20 sujets chacun, le rapport des variances, avec un a de 0.05, doit être supérieur à 2.12, ce qui correspond à une marge très importante. Autre exemple, pour 2 échantillons de 100 sujets chacun, le rapport doit être supérieur à 1.39, ce qui est encore très important.
• Dans le cas d'échantillons non gaussiens, ce test n'est plus valable, mais on a le résultat capital suivant qui permet de tester µ₁ = µ₂ : pour n₁ et n₂ assez grand (> 30), on peut quand même appliquer le test de Student que s ₁ soit différent ou non de s ₂. Le test de Student est dit robuste.

Exemple :
avec n₁ = 25, n₂ = 13,
S₁² = 0.05, S₂² = 0.07 et
un seuil de signification a = 0.05,
peut-on accepter l'hypothèse nulle H₀ : s ₁² = s ₂² ?
On suppose les conditions d'application valables.

Il faut d'abord permuter les indices 1 et 2 car >

F_obs = = 1.346 et F_12;24 = 2.18 (lu dans la table de Fisher-Snedecor)

F_obs < F_théor donc on accepte H₀ : s ₁² = s ₂², on peut ensuite tester H₀ : m ₁ = m ₂

1.1.3 Les coefficients de corrélation :
1) Le coefficient de corrélation de Bravais - Pearson :
Il permet de mesurer l'intensité de la liaison entre deux caractères quantitatifs. C'est donc un paramètre important dans l'analyse des régressions linéaires (simples ou multiples).
Il se calcule à partir de la covariance et des écart-types : r =

Ce coefficient varie entre -1 et +1 :

• une valeur proche de +1 montre une forte liaison entre les deux caractères. La relation linéaire est ici croissante (c'est-à-dire que les variables varient dans le même sens);
• une valeur proche de -1 montre également une forte liaison mais la relation linéaire entre les deux caractères est décroissante (les variables varient dans le sens contraire);
• une valeur proche de 0 montre une absence de relation linéaire entre les deux caractères.

Lorsque r est calculé sur un échantillon, on est amené à tester sa significativité. Pour un risque d'erreur a fixé, celle-ci varie en fonction du nombre d'individus de la distribution. Quand ce nombre d'individus augmente, le seuil inférieur de significativité s'abaisse.
La table fournit les valeurs r critiques au-delà desquelles les coefficients de corrélation de Pearson obtenus sont significatifs. Pour des échantillons de taille n, on prendra (n-2) comme degré de liberté.
Remarques :
Il est fondamental de noter qu'une corrélation significative ne signifie aucunement qu'il existe une relation de cause à effet entre les deux variables. La corrélation peut en effet être liée à une troisième variable, qui agit de manière indépendante sur les deux premières. Pour contrôler l'influence d'autres variables, il est nécessaire de procéder à des corrélations partielles (voir ci-après).
De même, un faible coefficient de corrélation ne signifie pas forcément l'indépendance des deux caractères. Il se peut que la relation entre ces deux caractères soit non linéaire (elle peut être parabolique, logarithmique ou exponentiel …).
La corrélation est à ce niveau essentiellement descriptive (et non explicative).

2) Le coefficient de détermination r² :
Ce coefficient est le carré du coefficient de corrélation. Il traduit la qualité d'une régression en résumant la part de l'information totale prise en compte par le modèle de régression.

r² =

Par exemple, r² = 0.87 : le modèle de régression prend en compte 87% de l'information contenue dans la distribution.

3) Le corrélation multiple :
Le coefficient de corrélation multiple R exprime l'intensité de la liaison entre la variable à expliquer et l'ensemble des variables explicatives (nommées encore régresseurs).

4) Les corrélations partielles :
Comme énoncé précédemment, cette corrélation exprime la liaison entre deux paramètres, en contrôlant l'influence d'une troisième paramètre.
Par exemple, on peut rechercher la corrélation entre la taille et le poids pour des sujets d'âge donné.
Pour trois variables, le coefficient de corrélation partielle peut être calculée à partir des coefficients de corrélation simple :

r_{12-3 =}

Bien sûr, il est possible de calculer les deux autres coefficients de corrélation partielle r_13-2 r_23-1.
Les calculs pour un nombre supérieur à trois variables sont très lourds : l'emploi des ordinateurs est ici la bienvenue.
Un coefficient de corrélation partielle se teste comme un coefficient de corrélation simple avec n - p - 1 degrés de liberté.
Ce coefficient est très utile lors des analyses de régressions multiples. Au coefficient de corrélation multiple, il convient de lui associer les coefficients de corrélation partielle. En effet, quand les variables explicatives sont corrélées entre elles, il est indispensable de connaître les coefficients de corrélation partielle entre la variable à expliquer (Y) et chacune des variables explicatives (X₁, X₂, X₃…X_j). Un coefficient de corrélation partielle entre Y et un des régresseurs indique l'intensité de la relation spécifique, compte tenu des autres variables explicatives présentes.
Par exemple, si l'on recherche pour un ensemble de stations (individus), la liaison entre la production de la biomasse (Y), la pluviosité (X₁) et l'ensoleillement (X₂), pluviométrie et ensoleillement étant partiellement liée, il est difficile de connaître le rôle de chacun des deux facteurs retenus. Le coefficient de corrélation partielle entre Y et X₁ indique l'intensité de la relation entre biomasse et pluviosité, en maintenant l'ensoleillement constant (la variable X₂ est prise en compte). Un coefficient de corrélation partielle est donc défini en fonction des autres régresseurs.

5) Comparaison de coefficients de corrélation de Bravais - Pearson :
La comparaison de coefficients de corrélation n'est possible que si ces coefficients suivent une distribution normale. Il est donc nécessaire, dans un premier temps, de normaliser les coefficients de corrélation en utilisant la transformation de Fisher. On applique la formule :

z =

Alors que r varie de -1 à +1, z varie entre 0 et ¥ .

Cette transformation normalise les coefficients de corrélation mais présente un autre avantage : elle permet de stabiliser la variance de la distribution initiale.
Pour comparer deux coefficients de corrélation, on calcule : Z = où =

n₁ et n₂ étant les effectifs de chacun des échantillons impliqués dans le calcul des coefficients de corrélation.

Si n₁ = n₂ alors =

La valeur de Z suit une distribution de Student. Comme pour une comparaison de deux moyennes, si on choisit un test bilatéral, l'hypothèse nulle correspond à r₁= r₂ et l'hypothèse alternative à r₁ ¹ r₂ . On apprécie la signification de la valeur de Z avec celle lue dans la table de Student (Za ₍₂₎ = ta _{(2), ¥} ). Ici, le degré de liberté est égal à l'infini.

Exemple :

Par la transformation de Fisher :

Z = = -1.202

avec = 0.1463

Dans la table de Student, on lit Z_0.05(2) = t_{0.05(2), ¥} = 1.960
Donc nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle.

Puissance du test :
Pour obtenir la puissance 1 - b du test, il faut d'abord calculer : Zb ₍₁₎ = - Za

puis lire la valeur de b dans la table de la loi normale réduite. En reprenant l'exemple ci-dessus, Zb ₍₁₎ = - 1.960 = -0.76

b = P (Z ³ -0.76) = 1 - P (Z £ -0.76) = 1 - 0.2232 = 0.78 soit 78 % de chances de commettre une erreur de type II.
La puissance du test 1 - b est de 0.22.

6) Comparaison de plusieurs coefficients de corrélation de Bravais - Pearson :
ZAR (p 384) : Méthode de Paul puis si nécessaire méthode de Tukey

1.1.4 Le test d'indépendance du chi-carré :
Le test d'indépendance du chi-carré vise à déterminer si deux variables observées sur un échantillon sont indépendantes ou non. Les variables étudiées sont des variables qualitatives catégorielles.
Le test d'indépendance s'effectue sur la base d'une table de contingence.
Exemple :
On cherche à déterminer si le fait de fumer est indépendant du sexe des individus.
Les deux variables à étudier sont des variables qualitatives catégorielles qui compte deux catégories chacune :

• pour la variable "sexe" : M et F,
• pour la variable "fumer" : "fume" ou "ne fume pas".

La table de contingence obtenus à partir d'un échantillon de 100 individus (n = 100) est la suivante :

Notons n_ij (i = 1, 2, j = 1, 2) les fréquences observées.
Nous allons estimer les fréquences de chaque case du tableau sous l'hypothèse de l'indépendance entre les deux variables. Notons e_ij, ces fréquences estimées :

e_ij =

Nous obtenons : e₁₁ = = 20.15 e₁₂ = = 44.85 et  e₂₁ = = 10.85 e₂₂ = = 24.15

En définitive, le tableau de fréquences estimées est le suivant :

Si l'hypothèse nulle H₀ est vraie, la statistique c ² =

suit une loi du chi-carré avec (r-1)(c-1) degrés de liberté, où r est le nombre de lignes et c le nombre de colonnes du tableau. Dans notre exemple, nous avons donc (2-1)(2-1) = 1 degré de liberté et c ² = 0.036 + 0.016 + 0.066 + 0.030 = 0.148

En choisissant un seuil de signification de 5%, la valeur de la table de chi-carré est égale à 3.84.
Comme la valeur de c ² calculée est nettement inférieure à la valeur trouvée dans la table du chi-carré, nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle et concluons que les deux variables étudiées sont indépendantes.

1.2 Les tests non paramétriques :
Un test non paramétrique est un test d'hypothèse pour lequel il n'est pas nécessaire de spécifier la forme de la distribution de la population étudiée. Il faut cependant en général que les observations soient indépendantes, c'est-à-dire que la sélection d'un quelconque individu dans la population en vue de former l'échantillon ne doit pas influencer le choix des autres individus.
Les méthodes non paramétriques requièrent peu d'hypothèses concernant la population étudiée. Elles ignorent notamment l'hypothèse classique de la normalité de la population.
Ces tests peuvent être appliquer à de petits échantillons.
Ils peuvent s'appliquer à des caractères qualitatifs, à des grandeurs de mesure, à des rangs de classement ...
Ils peuvent s'appliquer à des données incomplètes ou imprécises.
Des recherches théoriques ont montré que l'efficacité des tests non paramétriques n'est que légèrement inférieure à celle de leurs équivalents paramétriques quand la distribution de la population étudiée est spécifiée, par exemple la loi normale. Elle est en revanche supérieure à celle des tests paramétriques quand la distribution de la population dévie sensiblement de la distribution spécifiée (normale).

1.2.1 Méthodes graphiques et tests statistiques permettant de vérifier la normalité d'un échantillon
Rappels : La loi normale, ou Loi de Gauss ou encore de Laplace-Gauss est la loi d'une variable X continue, variant de - ¥ à + ¥ , dont la densité de probabilité f(x) est :

f(x) =

La loi normale dépend de deux paramètres : la moyenne m et l'écart-type s .

La courbe représentative de f(x) est "la courbe en cloche", symétrique par rapport à x = m.
Cette loi normale est notée N (m, s ). La fonction de répartition est :

F(x) =  

Toute loi normale N (m, s ) se ramène par le changement de variable à une loi normale de moyenne nulle et u =

d'écart-type unité, dite loi normale réduite N (0, 1) dont les fonctions de densité de probabilité f(u) et de répartition F(u) sont :

f(u) = et F(u) =

Grâce aux tables de la loi normale réduite, il est possible de répondre à toutes les questions que l'on peut se poser à propos d'une loi normale N (m, s ) quelconque.
On peut ainsi déterminer la probabilité P pour que la variable X soit comprise dans un certain intervalle, en tirant partie de la formule résultant du changement de variable

u = avec u₁ = et u₂ =

P(x₁ < X £ x₂) = F(x₂) - F(x₁) = F(u₂) - F(u₁)

La symétrie de la fonction f(x) permet de simplifier la table donnant les valeurs F(u) en retenant seulement les valeurs pour u ³ 0 de sorte que pour une valeur négative "-u₁", on a :

F(-u₁) = 1 - F(u₁)

Exemple : dans la loi N (m = 12, s = 2), calculer P(8.5 < X £ 15)

P(8.5 < X £ 15) = P(u₁ < £ u₂) avec : u₁ = = -1.75 et u₂ = = 1.5

P(-1.75 < £ 1.5) = F(1.5) - F(-1.75).

Or F(-1.75) = 1 - F(1.75), dans la table de la loi normale réduite, nous lisons la valeur F(1.75) = 0.9599.

F(-1.75) = 1 - 0.9599 = 0.041 et F(u₂ = 1.5) = 0.9332

P(8.5 < X £ 15) = F(u₂) - F(u₁) = 0.9332 - 0.041 = 0.8922 = 89.22 %

Ce qui veut dire qu'il y a 89.22 % de chances d'avoir 8.5 < X £ 15.

Exemple 2 : si X suit la loi N (3.5;2), on a :
P(X £ 4) = P( £ ) = P( £ 0.25) = F(0.25) = 0.5987
F(0.25) a été lue dans la table et cela signifie qu'il y a 59.87 % de chances d'avoir X £ 4.

Exemple 3 : si X suit la loi N (50,4), on a :
P(40 £ X £ 60) = P(-2.5 £ £ 2.5) = F(2.5) - F(-2.5) = 2 F(2.5) - 1 = 0.988.

Exemple 4 : si X suit la loi N (0,1), on a :
P(-3 £ X £ 3) = F(3) - F(-3) = 2 F(3) - 1 = 0.997 = 99.7 %
Le fait que P(-3 £ X £ 3) = 99.7 % montre que pratiquement toute la probabilité est concentrée dans l'intervalle [-3,3]. Ceci est lié à la décroissance rapide de la densité f(x) lorsque x à ± ¥ .

Les paragraphes suivants montrent des méthodes permettant de vérifier la normalité d'un échantillon.

1.2.1.1 La droite de Henry :
C'est une procédure pratique et rapide, permettant de vérifier la présomption de normalité pour une population dont on observe un échantillon.
Cette procédure graphique ne constitue pas, à proprement parler, un test statistique. Néanmoins, le tracé d'un graphique de Henry peut suffire dans de nombreux cas où l'on doit s'assurer de la normalité d'une distribution d'échantillonnage.
Le principe de la méthode repose sur la liaison linéaire entre une variable normale x (moyenne m, écart-type s ) et la variable réduite u (on rappelle que u = ).

1.2.1.2 Les tests de normalité :
a) Le test de Kolmogorov-Smirnov
Dans le cas général, le test de Kolmogorov-Smirnov vise à déterminer si les fonctions de répartition de deux populations sont identiques. Il est utilisé lorsqu'on est en présence de deux échantillons provenant de deux populations pouvant être différentes. Contrairement au test de Mann-Whitney ou au test de Wilcoxon (cf paragraphes 1.2.2 et 1.2.3) dont l'objet est de détecter des différences entre deux moyennes ou médianes, le test de Kolmogorov-Smirnov a l'avantage de prendre en considération les fonctions de répartitions dans leur ensemble.
Mais le test de Kolmogorov-Smirnov peut aussi être utilisé comme test d'adéquation. Dans ce cas, on est en présence d'un seul échantillon aléatoire tiré d'une population; sa fonction de répartition sera comparée à une fonction de répartition spécifique et connue (par exemple celle de la loi normale, celle de la loi uniforme ou encore celle de la loi de chi-carré).

Exigences :

• les deux échantillons sont des échantillons aléatoires tirés de leur population respective.

• il y a indépendance mutuelle entre les deux échantillons.

• les variables aléatoires doivent être continues, sinon le test est moins précis. Si ces variables sont qualitatives, il vaut mieux utiliser le test de chi-carré.

b) Le test de Lilliefors
Alors que le test de Kolmogorov-Smirnov permet de comparer la fonction de répartition d'une variable aléatoire centrée et réduite à celle de la loi normale de moyenne nulle et d'écart-type unité; celui de Lilliefors compare la fonction de répartition d'une variable aléatoire quelconque à celle d'une loi normale de moyenne et d'écart-type non spécifiée (m et s ).
Un des avantages des tests de Kolmogorov-Smirnov et Lilliefors est leur possible utilisation quel que soit l'effectif de l'échantillon. Cependant ces tests sont de plus en plus considérés comme des méthodes pauvres et donc non recommandés.
Zar propose d'utiliser la méthode de Shapiro et Wilk ou encore celle d'Agostino et Pearson. Pour chacune de ces deux méthodes, la puissance est excellente. Cependant, bien que pouvant être employée pour des petits échantillons, la méthode de Shapiro et Wilk voit sa puissance altérée lorsque les données présentent des doublons. Zar conseille plus particulièrement le test d'Agostino et Pearson excellent pour des échantillons avec un effectif d'au moins 20 mesures.

c) Le test d'Agostino - Pearson :
Il s'appuie sur les coefficients d'asymétrie et d'aplatissement. L'hypothèse nulle d'une population normale est testée en utilisant la statistique : K² = +

permet de tester l'asymétrie, l'aplatissement.
On regarde si K² suit une distribution de c ² avec n = 2 comme degrés de liberté et a = 0.05.
Si la valeur K² est supérieure à celle lue dans la table : on rejette H_O. Si elle est inférieure, on accepte H_O.
En annexe, je donne les calculs des valeurs de et de .

d) Changements de variables :
Si un de ces tests aboutit à une distribution non normale de la variable aléatoire ou si le graphique de Henry montre une relation non linéaire, il peut être intéressant dans ces cas d'examiner, par ces mêmes méthodes, si un changement de variable, par exemple y = log₁₀x ou y = , conduit à un distribution normale de la variable transformée y.

1.2.2 Le test de Mann-Whitney :
C'est un test non-paramétrique qui permet de tester les moyennes de deux échantillons indépendants. La réalisation du test est basée sur le classement dans un ordre croissant de l'ensemble des observations. Ici, ce n'est donc pas indispensable que les échantillons suivent une distribution normale : des distributions symétriques suffisent à valider le test. Ce test est un cas particulier du test de Kruskall-Wallis.

1.2.3 Le test de Wilcoxon :
C'est aussi un test sur les rangs mais il permet de tester les moyennes de deux échantillons associés par paires. Là aussi, des distributions symétriques suffisent. Ce test est un cas particulier du test de Friedman.

1.2.4 Le test de Kruskall-Wallis :
Ce test est préféré à l'analyse de variance à un facteur lorsque les hypothèses de normalité des différents échantillons ne sont pas respectées. Il vise à tester l'égalité de plusieurs populations mais indépendantes. C'est toujours un test sur les rangs comme l'est aussi le test suivant.

1.2.5 Le test de Friedman :
Ce test est utilisé pour tester l'égalité de plusieurs populations appariées lorsque l'analyse de variance ne peut être utilisée toujours pour des raisons d'hypothèses de normalité non respectées ou de faibles effectifs.

1.2.6 Le test du coefficient de corrélation de Spearman :
Il correspond à l'équivalent non-paramétrique du test basé sur le coefficient de corrélation de Pearson et est également un test sur les rangs.
Les coefficients de corrélation des rangs sont très utiles pour tester l'indépendance de deux variables non normales ou lorsque l'échantillon est petit : on sait en effet qu'on ne peut appliquer le test du coefficient de corrélation linéaire de Pearson. Les tests de corrélation sont alors les seuls applicables, car ils ne dépendent pas de la distribution normale.
De plus ils sont robustes car insensibles à des valeurs aberrantes.
Bien sûr ces tests peuvent être appliquer dans le cas de variables ordinales.
La table de Spearman fournit les valeurs critiques au-delà desquelles les coefficients de corrélation de Spearman obtenus sont significatifs. Pour des échantillons de taille n, on prendra n comme degrés de liberté.

1.2.7 Le test de corrélation des rangs de Kendall :
C'est l'équivalent du test du coefficient de corrélation de Spearman mais pour des observations appariées.

2. L'ANALYSE DE VARIANCE (ou ANOVA)

L'analyse de variance (ANOVA pour Analysis Of VAriance) regroupe un ensemble de techniques de tests et d'estimation visant à optimiser des protocoles expérimentaux pour individualiser l'influence de différents facteurs sur un paramètre à mesurer et revient dans le cas simple à comparer plusieurs moyennes d'échantillons gaussiens.
Ces différentes techniques sont le reflet formel de plans d'expérience conçus préalablement et pouvant être diversifiés à l'infini au gré de l'astuce des expérimentateurs. De ce fait, il existe différentes techniques d'analyse de variance. Citons quelques exemples typiques :

• Analyse de variance à un facteur de variabilité, en principe la situation la plus simple;
• Analyse de variance à deux facteurs de variabilité;
• Méthode des blocs;
• Méthode dont le plan expérimental utilise des carrés latins;
• Analyse de variance sur des mesures répétées.

Les variables qualitatives susceptibles d'influer sur la distribution de la variable numérique observée sont appelées "facteurs de variabilité" et leurs modalités "niveaux". Lorsqu'il y a plusieurs facteurs, une combinaison de niveaux est un "traitement".

2.1 L'analyse de variance à un facteur de variabilité :
Il s'agit ici d'étudier l'influence d'un seul facteur de variabilité sur un paramètre quantitatif, ce qui revient à comparer les moyennes de plusieurs populations supposées normales et de même variance à partir d'échantillons aléatoires simples et indépendants les uns des autres. Cette analyse peut être considérée comme une généralisation du test de Student.
Pourquoi délaisser le test de Student : si l'on compare toutes les moyennes entre elles, il est nécessaire de réaliser p(p-1)/2 tests. Chacun de ces tests étant susceptibles de conclure de façon non appropriée à une différence significative, le risque global de trouver une telle différence à tort devient bien supérieur au 5% que l'on octroie habituellement. Démonstration :

• Différence entre erreur de type I par comparaison et erreur de type I par famille de comparaisons :
  Pour la comparaison de deux échantillons, la probabilité de ne pas commettre d'erreur de type I vaut au seuil de .05 :

(1 - .05) = .95

• Pour trois échantillons, si on veut faire toutes les comparaisons deux à deux il faut faire trois tests. La probabilité de ne pas commettre d'erreur de type I sur les trois comparaisons s'obtient par le produit des probabilités, soit :

  .95 * .95 * .95 = .95³ = 0.86

• De manière plus générale pour k épreuves indépendantes chacune évaluées avec un seuil a , la probabilité de ne pas commettre d'erreur de type I sur cette famille sera donnée par la formule : (1 - a )^k avec k, nombre de comparaisons par paires.
  Par conséquent, la probabilité de commettre au moins une erreur de type I sur la famille de comparaisons (chacune évaluée au seuil a ) s'obtient par : 1 - 0.86 = 0.14, plus généralement par :

1 - (1 - a )^k.

• Alors que nous avons 5 chances sur 100 de rejeter l'hypothèse nulle à tort pour une comparaison, nous avons 14 chances sur 100 de rejeter à tort l'hypothèse nulle au moins une fois pour une famille de 3 comparaisons.
  Cet exemple montre qu'il faut distinguer, pour les comparaisons analytiques, 2 acceptions du seuil a :
  d'une part, la probabilité de commettre une erreur de type I pour une comparaison;
  et d'autre part, la probabilité de commettre au moins une erreur de type I sur une famille de comparaisons.

Il est donc indispensable d'utiliser une analyse de variance qui permet de réduire ce risque d'erreur.
Procédure d'une analyse de variance :
La comparaison des moyennes se fait en deux étapes :

• un premier test permet d'accepter ou de rejeter l'hypothèse d'une égalité globale des moyennes, en d'autres termes, s'il existe ou non un effet groupe;
• si cette hypothèse est rejetée, il est ensuite possible de rechercher dans quelle configuration se situent les moyennes les unes par rapport aux autres. Il est donc nécessaire de faire une étude des contrastes (tests post-hoc) pour localiser avec précision les différences. Il n'existe malheureusement pas d'unanimité sur la conduite à tenir pour une telle étude.

Conditions nécessaires à la validité de l'analyse de variance :

• nous supposerons que les populations sont normales et de même écart-type s .
• nous admettrons que les échantillons sont aléatoires, simples et indépendants les uns des autres. Autrement dit, les différentes observations sont indépendantes les unes aux autres aussi bien à l'intérieur des groupes expérimentaux qu'entre les groupes.

Rappelons qu'un histogramme ou un diagramme de normalité tel la droite de Henry peut suffire à vérifier le bien fondé des conditions de normalité.
La dernière condition est d'ordinaire satisfaite en utilisant une procédure "d'aléatorisation" (ou de randomisation). Procédure pour laquelle on affecte au hasard chaque individu à un groupe expérimental.
En ce qui concerne l'hypothèse de normalité, des études ont permis de conclure que l'analyse de variance est peu sensible, dans l'ensemble, à la non-normalité des populations considérées. Il suffit en pratique d'éviter d'employer l'analyse de variance lorsque les distributions des populations parents sont très différentes des distributions normales (distributions en i ou en j par exemple), et lorsque les distributions sont de formes fort différentes d'une population à l'autre (distribution en cloche à dissymétrie de sens opposés par exemple), surtout pour de petits échantillons.
De même, l'hypothèse des variances ou hypothèse d'homoscédasticité est d'importance relativement secondaire lorsque les effectifs des échantillons sont tous égaux. Dans ces conditions, l'analyse de variance est, comme pour le test de Student, une méthode robuste, tant en ce qui concerne la normalité qu'au point de vue de l'égalité des variances.
Il n'en est cependant pas ainsi quand les effectifs des échantillons sont variables. Le risque de première espèce peut alors être influencé considérablement par une inégalité des variances, surtout lorsque les échantillons d'effectifs les plus réduits correspondent aux populations de variances maximums.
Quand certaines des conditions d'application sont loin d'être satisfaites, on peut tout d'abord essayer de s'en rapprocher en effectuant l'une ou l'autre transformation des variables : certaines de ces transformations permettent en effet de normaliser dans une certaine mesure les distributions et de stabiliser leurs variances. Si cette façon ne donne pas satisfaction, on peut aussi utiliser des tests non paramétriques, qui ne sont pas soumis à de telles restrictions en ce qui concerne leurs conditions d'utilisation.

Rappels : principes et réalisation d'une analyse de variance
Désignons par x_ik les différentes valeurs observées, le symbole x_ik représentant d'une manière générale la k^ème observation (k = 1, ..., n_i) de l'échantillon extrait de la i^ème population (i = 1, ..., p). Et désignons respectivement par _i et les moyennes des différents échantillons et de la moyenne générale :

- Le modèle observé de l'analyse de variance à un facteur de classification s'écrit pour chaque valeur observée x_ik :

xik - = (i - ) + (xik - i)

(1)

variation totale = variation factorielle + variation résiduelle

Cette relation signifie que les écarts par rapport à la moyenne générale (variation totale) se divisent en deux composantes : les écarts des moyennes des échantillons par rapport à la moyenne générale (variation factorielle) et les écarts existant à l'intérieur des échantillons (variation résiduelle).

Le modèle théorique de l'analyse de variance s'écrira :
(X_ik - m) = (m_i - m) + (X_ik - m_i)
ou X_ik = m + a_i + e _ik
avec X_ik : représente la variable dépendante, m : la moyenne générale de la population parentale, elle est estimée par , la moyenne de l'ensemble des échantillons ; a_i : les écarts factoriels, a_i = m_i - m, existant entre les moyennes théoriques m_i des différentes populations (ces moyennes m_i sont estimées par les moyennes _i des échantillons) et la moyenne m de la population parentale. Les quantités a_i sont souvent appelées effets du facteur contrôlé ou effets principaux ; e _ik : les écarts résiduels (e _ik = x_ik - m_i). e _ik correspond à l'erreur expérimentale de l'observation x_ik. Ils suivent une distribution de Gauss N (0, s )

Et l'hypothèse nulle H_o à tester se présente sous la forme :

• H_o : m₁ = m₂ = ... = m_i = ... = m_p = m
• ou H_o : (m - m₁) = (m - m₂) = ... = (m - m_i) = ... = (m - m_p) = 0
• ou H_o : a₁ = a₂ = ... = a_i = ... = a_p = 0

Si les écarts factoriels (= effets principaux) sont nuls alors il n'existe pas d'effet groupe.
Cette hypothèse est testée après avoir calculée la valeur F de Fisher-Snedecor et comparée à une valeur théorique trouvée dans la table de Fisher-Snedecor. Cette valeur F se calcule de la manière suivante :
- En élevant au carré les deux membres de l'identité (1) et en les sommant pour toutes les valeurs observées, on obtient l'équation d'analyse de variance :

(x_ik - )² = (_i - )² + (x_ik - _i)²

SCE_t = SCE_a + SCE_r

La somme des carrés des écarts totale est divisée en deux composantes additives : une somme des carrés des écarts factorielle ou entre échantillons et une somme des carrés des écarts résiduelle ou dans les échantillons.

• Le nombre de degrés de liberté se décompose comme suit : n - 1 = (p - 1) + (n - p)
• Les carrés moyens concernant la variation totale sont égaux à : CM_t = SCE_t / (n - 1)

Les carrés moyens concernant la variation factorielle sont égaux à : CM_a = SCE_a / (p - 1)
Les carrés moyens concernant la variation résiduelle sont égaux à : CM_r = SCE_r / (n - p). Nous verrons ci-après que cette valeur intervient dans la méthode de la plus petite différence significative.

Le rapport CM_a / CM_r correspond à la valeur F_observée. C'est aussi le rapport
C'est ce rapport qui est comparé à la valeur F_théorique lue dans la table de Fisher-Snedecor avec p - 1 et n - p degrés de liberté.

Tableau récapitulatif :

	Variation Totale		Variation factorielle		Variation résiduelle
Modèle observé	xik -	=	i -	+	Xik - i
Equation d'analyse de variance	(xik - )² (ou SCEt)	=	(i - )² (ou SCEa)	+	(xik - i)² (ou SCEr)
Nombre de degrés de liberté	n – 1	=	p – 1	+	n – p
Carrés moyens	SCEt / (n - 1) (ou CMt)		SCEa / (p - 1) (ou CMa)		SCEr / (n - p) (ou CMr)
Modèle théorique	Xik - m	=	mi – m	+	Xik - mi
F observé			F = CMa / CMr

Remarques :
Dans une analyse de variance, un facteur peut être à effet fixe ou à effet aléatoire.
Un facteur à effet fixe est un facteur dont les modalités ne changent pas quand l'expérience considérée est réalisée à plusieurs reprises. Si, par exemple, on compare quatre variétés de maïs cultivées chacune sur six parcelles de terre; dans une telle situation, le facteur "variété" est à effet fixe, car si l'on désire dupliquer l'expérience, cela n'a pas de sens de modifier les variétés de maïs à comparer. A l'opposé, les six parcelles de terre étant tirées au sort parmi un vaste lot de terres, on peut imaginer qu'une nouvelle expérience conduise à une nouveau tirage au sort, les parcelles ne seraient nécessairement plus les identiques... Dans un tel cas, le facteur "parcelle" est, par définition, aléatoire. On pourrait néanmoins tout aussi bien décider de conserver les six parcelles retenues pour la première expérience, le facteur "parcelle" serait alors fixe, au même titre que le facteur "variété".

De ce fait, il existe deux modèles :
Modèle I : ANOVA à un facteur fixe
Modèle II : ANOVA à un facteur aléatoire

Dans le cas de l'analyse de variance à un facteur, la distinction entre ces deux modèles n'est pas essentielle. Par contre, elle l'est lors des analyses de variance à deux facteurs.

Puissance de l'analyse de variance à un facteur :
Si l'ANOVA montre qu'il n'y a pas d'effet du facteur étudié, il peut être utile de connaître la probabilité de commettre une erreur de type II (b ).
Le calcul de la puissance se fait en deux temps : le calcul du paramètre f , puis la consultation des graphes de Hartley et Pearson.

f =

avec p : nombre de populations.

Exemple numérique :
p = 3 n₁ = n₂ = 4 n₃ = 5
H₀ : m ₁ = m ₂ = m ₃

F = 3.13 F_{0.05(1), 2, 10} = 4.10 H₀ non rejetée, la puissance peut être calculée :

f = = 1.19

avec p = 3, n ₁ = 2 et n ₂ = 10, on lit dans les graphes de Hartley et Pearson pour f = 1.19 : 1 - b = 0.33. donc il y a 67 % de chances de commettre une erreur de type II (Rappelons que b est la probabilité d'accepter l'hypothèse nulle alors que c'est l'hypothèse alternative qui est vraie.).

Comparaisons de plusieurs moyennes :
Rappelons que les comparaisons de plusieurs moyennes (c'est-à-dire les tests post hoc) ne peuvent être réalisées que si l'analyse de variance montre un effet significatif du facteur étudié.

Comme précisé précédemment il n'existe pas de méthodes "idéales". Plusieurs permettent d'effectuer toutes les comparaisons de moyenne deux à deux, ce sont celles de :

1. Least Significative Difference Fisher (LSD)
2. Bonferonni
3. Newman-Keuls
4. Tukey
5. Duncan

Dans les suivantes, seules une partie de l'ensemble des comparaisons de moyenne deux à deux seront effectuées.

1. Dunnet
2. Méthode de Gupta et Sobel
3. Méthode des contrastes par Scheffé

Dans l'exposé des différentes méthodes de comparaison, nous supposerons toujours que les conditions de base de l'analyse de variance sont satisfaites tant en ce qui concerne le caractère aléatoire et simple des échantillons que la normalité et l'égalité des variances des populations parents. Cette dernière condition s'avère particulièrement importante dans les problèmes de comparaisons multiples. Nous supposerons en outre, généralement, que les échantillons considérés sont tous de même effectif.

2.1.1 - le test Least Significative Difference (LSD)
Cette méthode permet de comparer toutes les moyennes deux à deux grâce au test de Student.

On rappelle que t_obs = ou =
Toutefois, puisqu'en réalisant l'analyse de variance, on a supposé que les variances de toutes les populations étaient égales, il ne se justifie pas de rechercher pour chacune de ces comparaisons une nouvelle estimation de la variance commune. Il est préférable d'employer dans tous les cas l'estimation globale fournie par le carré moyen résiduel (CM_r).
D'autre part, lorsque les effectifs sont égaux, au lieu de calculer les p(p - 1)/2 valeurs de t_obs et de rejeter l'hypothèse d'égalité des moyennes chaque fois que :

t_obs = ³ t_{1 - a /2} , il est plus facile de calculer une fois pour toutes la quantité : t_{1 - a /2} ,

et de rejeter l'hypothèse d'égalité des moyennes chaque fois que la différence |_i - _j | est supérieure ou égale à cette quantité. Cette expression est appelée la plus petite différence significative.
Inconvénient de la méthode : cette approche s'appuie sur le test de Student. Or, comme nous l'avons dit dans l'introduction relative à l'analyse de variance à un facteur, si l'on compare toutes les moyennes entre elles, il est nécessaire de réaliser p(p-1)/2 tests. Et donc, chacun de ces tests étant susceptibles de conclure de façon non appropriée à une différence significative, le risque global de trouver une telle différence à tort devient bien supérieur au 5% que l'on octroie habituellement.
Il est donc indispensable d'utiliser d'autres méthodes qui permettent de réduire ce risque d'erreur. Plusieurs méthodes ont été proposées par différents auteurs : Bonferonni, Newman-Keuls, Tukey, Duncan pour palier cet inconvénient.

2.1.2 - le test de Bonferonni :
Appelé aussi "test du t-corrigé", le test de Bonferonni permet de réaliser toutes les comparaisons deux à deux des moyennes c'est-à-dire comparaisons avec p populations groupes (ou p niveaux) en respectant globalement le risque a choisi : chacune des comparaisons est effectuée au risque . Ce test est dit "conservateur" car il devient plus difficile de mettre en évidence une différence significative (l'hypothèse de nullité est difficilement rejetée). La méthode de Bonferonni est néanmoins très grossière, il faut donc généralement l'éviter.

2.1.3 - Méthode de Newman-Keuls :
C'est certainement la méthode la plus utilisée. L'essentiel du test de Newman-Keuls réside dans une approche séquentielle ou l'on teste les comparaisons entre paires en choisissant la valeur critique en fonction de l'étendue de la comparaison.
Pour simplifier l'exposé, nous admettrons que les moyennes sont numérotées en fonction de leur ordre de grandeur : de M₁ (la plus petite) à M_A (la plus grande).
Principe du test de Newman-Keuls : on sélectionne la comparaison entre paire de moyennes correspondant à la plus grande différence. (cette comparaison possède, donc, une étendue A). On teste pour cette paire maximale, l'hypothèse de la nullité de la différence des moyennes. Si l'on ne peut rejeter l'hypothèse nulle, le test s'arrête là, car toutes les autres comparaisons sont incluses dans celles-ci. Si l'on peut rejeter l'hypothèse nulle alors on peut soumettre au test les deux comparaisons avec l'étendue de (A-1), en prenant comme valeur critique la valeur obtenue dans la table élaborée par Newman et Keuls pour une étendue de (A-1).
Si l'on ne peut pas rejeter l'hypothèse nulle pour une comparaison, alors on décide que toutes les comparaisons entre paires impliquées par cette comparaison ne permettront pas non plus de rejeter l'hypothèse nulle.
Si l'on peut rejeter l'hypothèse pour une comparaison alors on recommence l'opération pour les moyennes séparées par une étendue de (A-2), en choisissant la valeur critique dans la table de Newman-Keuls pour une étendue de (A-2), et ce jusqu'à l'épuisement de l'ensemble des paires.
Cette procédure séquentielle évite l'apparition de décisions dissonantes : comme par exemple juger que la différence entre M₁ et M₄ n'est pas significative, et admettre que la différence entre M₁ et M₂ est significative. Il faut se rappeler que les moyennes sont numérotées en fonction de leur taille.
Signalons que la possibilité d'utiliser cette méthode lorsque les effectifs sont inégaux est envisagée par Kramer.

2.1.4 - le test de Tukey :
Le test de Tukey emploie exactement la même procédure que celle de Newman-Keuls mais la valeur critique choisie pour une étendue de A moyennes (de la plus petite à la plus grande), reste utilisée pour les autres comparaisons dont l'étendue est forcément moindre. Le test est dit "conservateur" c'est-à-dire que l'hypothèse de nullité est rejetée moins souvent qu'elle ne devrait (on oublie de détecter des effets; on augmente l'erreur de type II, b )

2.1.5 - le test de Duncan :
Ce test suit la procédure présentée dans le test de Newman-Keuls mais utilise pour les valeurs critiques la table de Duncan. Au même titre que le test de Newman-Keuls, il semble être un test puissant.
Le choix de l'une ou de l'autre de ces méthodes reste d'ailleurs très discutable (les "meilleures" semblent être celles de Newman-Keuls et de Duncan), et la meilleure façon d'échapper à ce choix est vraisemblablement d'éviter toute utilisation des méthodes de comparaisons de moyennes deux à deux. Le plus souvent, il ne se justifie d'ailleurs pas d'effectuer toutes les comparaisons des moyennes deux à deux, le vrai problème étant de réaliser certaines comparaisons particulières, telles que les comparaisons d'une série de traitements avec un témoin. Ce sont alors, selon les cas, les méthodes de Dunnet, de Gupta et Sobel, de Scheffé qui doivent être utilisées.

2.1.6 - le test de Dunnet :
Il permet de comparer des groupes expérimentaux à un groupe témoin (ou à un groupe contrôle).
On effectue dans ce cas, pour p populations, (p-1) comparaisons. l'erreur globale de première espèce propre à la méthode de la plus petite différence significative doit en conséquence être réduite dans une moindre mesure que dans le cas général, où le nombre de comparaisons à réaliser est égal à p(p-1)/2. Des tables spéciales ont été élaborées par Dunnet, pour traiter correctement ce cas particulier.
Ces tables réunissent des valeurs d_{1-a /2} qui doivent remplacer les valeurs t_{1-a /2}, de telle sorte que le risque global de première espèce soit ramené au niveau de a , pour l'ensemble des p-1 comparaisons. Ces valeurs sont bien évidemment comprises entre celles correspondant aux méthodes de la plus petite différence significative d'une part et de Newman-Keuls d'autre part.
Toujours dans les conditions normales d'emploi de l'analyse de variance, la différence entre la moyenne de l'échantillon témoin et la moyenne de l'un quelconque des échantillons traités doit être considérée comme significative lorsqu'elle égale ou dépasse la valeur critique = d_{1-a /2}.
Après avoir mis en évidence, par un test de Dunnet, les traitements qui sont meilleurs que le témoin, il est possible d'enchaîner un test de Newman-Keuls pour classer ces traitements entre eux.

2.1.7 - la recherche des moyennes les plus élevées : Gupta et Sobel
Le but poursuivi est de délimiter le plus petit ensemble de moyennes observées _i qui ait une probabilité élevée, par exemple 1-a , d'englober la population de moyenne théorique maximum. Cet objectif peut être atteint, dans les conditions habituelles de l'analyse de la variance, en réunissant les valeurs _i qui sont telles que :

_i ³ _max - d_1-a

où _max désigne la moyenne la plus élevée, CM_r le carré moyen résiduel et n le nombre d'observations intervenant dans chacune des moyennes. Quand au facteur d_1-a , il représente les valeurs déjà utilisées dans le test de Dunnet, mais relatives ici à un test unilatéral. La méthode présentée ici revient donc à effectuer un test unilatéral de comparaison de p-1 moyennes observées avec une moyenne témoin, la valeur maximum servant de témoin.

2.1.8 - le test de Scheffé :
La méthode de Scheffé repose sur le test de contrastes. On appelle contraste une somme pondérée de moyennes :

C = c₁m₁ + c₂m₂ + ... + c_km_k
avec S c_i = 0
et S |c_i| = 2 (afin d'homogénéiser les coefficients)

Exemples :
1, -1, 0, 0 pour comparer m₁ avec m₂
1, 0; -1; 0 pour comparer m₁ et m₃
1/2, 1/2, -1/2, -1/2 pour comparer m₁ et m₂ avec m₃ et m₄

le contraste est jugé significatif si la valeur absolue de C est supérieure à : S =

p étant le nombre de niveaux de la variable indépendante ; Fc étant la valeur critique de F avec p-1 et n-p degrés de liberté, pour le seuil a déterminé. Cette valeur est lue dans la table de Fisher - Snedecor. n_i étant l'effectif du groupe du niveau i ; CM_a : étant les carrés moyens du facteur a à p niveaux.

2.2 L'analyse de variances à deux facteurs de variabilité :
Les expériences factorielles doubles, ou plus généralement multiples, sont importantes pour les raisons suivantes :

• Une expérience factorielle double est plus efficace par rapport aux ressources que ne le serait la combinaison de deux expériences à un seul facteur. La première prend moins de temps et nécessite moins d'unités expérimentales pour un niveau donné de précision.
• Une expérience factorielle double permet aux effets sur les réponses dues à l'augmentation du niveau de chaque facteur d'être estimés à chaque niveau de l'autre facteur. Ceci amène des conclusions valables sur une plus vaste étendue de conditions expérimentales qu'une suite de plans à un seul facteur.
• Finalement, la recherche simultanée sur deux facteurs est nécessaire quand des interactions entre les facteurs sont présentes, c'est-à-dire l'effet d'un facteur dépend du niveau de l'autre facteur.

Nous avons vu que l'analyse de variance à un critère de classification a notamment pour principe de diviser la variation totale en deux composantes : l'une factorielle, l'autre résiduelle. Cette façon de procéder peut être étendue à deux critères de classification, la variation totale étant alors divisée en plus de deux composantes : l'une résiduelle également, et les autres liées aux deux critères de classification.
Les deux facteurs considérés peuvent être placés sur le même pied ou subordonnés l'un à l'autre. les modèles de l'analyse de variance correspondant au premier cas sont dits croisés, ceux qui correspondent au deuxième cas sont dits hiérarchisés (ou emboîtés). Dans chaque cas, on doit distinguer aussi un modèle fixe, un modèle aléatoire et un modèle mixte selon que les deux critères de classification sont fixes, aléatoires ou l'un fixe et l'autre aléatoire.
Considérons pq populations dans chacune desquelles est prélevée un échantillon d'effectif n et désignons par x_ijk les différentes valeurs observées, l'indice i servant à distinguer p variantes (ou niveaux) d'un premier critère de classification (i = 1, …, p), l'indice j permettant de distinguer q variantes d'un deuxième critère de classification (j + 1, …, q) et k désignant, pour chaque échantillon, les numéros d'ordre des différentes observations (k = 1, …, n).
A partir de ces données, on peut calculer une moyenne par échantillon :

_ij. =

une moyenne par variante (par facteur) de chacun des deux critères de classification :

_i.. = = et _.j. = =

et une moyenne générale :

_… = = = =

En se basant sur ces définitions, on peut diviser les écarts par rapport à la moyenne générale en deux, puis en quatre composantes, et écrire le modèle observé :

x_ijk - _… = (_ij. - _…) + (x_ijk - _ij.)
= (_i.. - _…) + (_.j. - _…) + (_ij. - _.i.. - _.j. + _…) + (x_ijk - _ij.)

La première décomposition est identique à celle qui a été réalisée au cours de l'analyse de la variance à un critère de classification. La seconde décomposition distingue en plus du terme résiduel, deux termes mesurant les différences entre la moyenne générale et les moyennes relatives aux différentes variantes des deux critères de classification, et enfin, un terme d'interaction :

_ij. - _.i.. - _.j. + _…

Ces termes d'interaction sont nuls lorsque les différences liées à l'action d'un des deux facteurs contrôlés sont indépendantes de l'action de l'autre.

X_ijk - m.. = (m_i. - m..) + (m._j - m..) + (m_ij - m_i. - m._j + m..) + (X_ijk - m_ij)
ou X_ijk = m.. + a _i + b _j + g _ij + e _ijk

avec : X_ijk : représente la variable dépendante ;m.. : la moyenne générale de la population parentale, elle est estimée par ..., la moyenne de l'ensemble des échantillons ; m_i. les moyennes théoriques relatives aux différents niveaux du facteur a (estimées par les moyennes _i.. des échantillons) ; m_.j les moyennes théoriques relatives aux différents niveaux du facteur b (estimées par les moyennes _.j. des échantillons) ; a _i : les écarts factoriels, a _i = m_i. - m.., mesurant les différences théoriques entre les moyennes des différents niveaux et la moyenne générale pour le facteur a ; b _j : les écarts factoriels, b _j = m_.j - m.., mesurant les différences théoriques entre les moyennes des différents niveaux et la moyenne générale pour le facteur b ; Les quantités a _i et b _j sont souvent appelées effets du facteur contrôlé ou effets principaux ; g _ij sont des valeurs théoriques des interactions ; e _ijk : les écarts résiduels (e _ijk = X_ijk - m_ij). e _ijk correspond à l'erreur expérimentale de l'observation X_ijk. Ces écarts résiduels sont normaux, indépendants de moyenne nulle et d'écart-type s .

Ce modèle théorique peut faire l'objet de trois hypothèses nulles différentes.
L'une est relative à l'absence d'action du premier facteur :
H_o : a ₁ = a ₂ = ... = a _P = 0 ou m_1. = m_2. = ... = m_p.
La seconde est relative à l'absence d'action du deuxième facteur :
H'_o : b ₁ = b ₂ = ... = b _q = 0 ou m_.1 = m_.2 = ... = m_.q
La troisième concerne l'absence d'interactions :
H''_o : g ₁₁ = g ₁₂ = ... = g _pq = 0 ou m_ij - m_.j = a _i pour tout i et tout j
ou encore m_ij - m_i. = b _j pour tout i et tout j.

Les calculs des sommes des carrés des écarts puis des carrés moyens permettent de tester la validité de ces hypothèses. Les différentes comparaisons des carrés moyens sont résumés dans le tableau suivant.

Ce tableau est valable si les différents groupes ont des effectifs égaux. C'est d'ailleurs dans ce cas que la puissance de l'analyse de variance est maximale. L'expérimentateur a donc tout intérêt de prendre un même nombre d'unités expérimentales pour l'ensemble des groupes.

Remarques :
Dans le chapitre précédent (ANOVA à un facteur), nous avons expliqué les différences entre facteurs fixes et facteurs aléatoires. Trois modèles peuvent être rencontrés :

• Modèle I : les deux facteurs sont fixes.
• Modèle II : les deux facteurs sont aléatoires.
• Modèle III : un facteur est fixe, l'autre est aléatoire. Le modèle III est aussi appelé modèle mixte.

Puissance de l'analyse variance à deux facteurs :
Pour chaque facteur, le paramètre f prend la valeur :

f =

avec p' = nombre de groupes par facteur

Pour l'effet interaction :

f =

A partir de f , la puissance du test est connue en consultant les graphes de Hartley et Pearson.

Cas particuliers :
Quand on compare la moyenne d'un paramètre dans plusieurs groupes, il est crucial de pouvoir disposer de groupes comparables, mais aussi de groupes les plus homogènes possible afin d'obtenir une puissance élevée pour la comparaison. Il est parfois des situations expérimentales où l'on connaît par avance certains facteurs susceptibles de nuire à une telle homogénéité. Différents plans d'expérience ont donc été conçus afin d'éliminer les effets des sources d'erreur.
Si on cherche à réduire les effets d'une seule source d'erreur, on utilisera la méthode des blocs (complets si possibles). Pour deux sources d'erreurs, ce sera la méthode des carrés latins, et pour trois, quatre ou cinq sources d'erreurs, le plan d'expérience utilisé sera un plan carré graeco-latin.

- La méthode des blocs :
On désigne par blocs des ensembles dans lesquels sont regroupées les unités expérimentales de telle sorte qu’elles soient aussi semblables que possible à l’intérieur de chaque bloc.
On peut s’attendre ainsi à ce que l’erreur expérimentale soit moindre que pour un même nombre d’unités aléatoirement situées à l’intérieur de la totalité de l’espace expérimental.
Les blocs sont généralement déterminés pour tenir compte, outre les causes contrôlables définies par les facteurs étudiés, d’autres causes qu’il peut être difficile, voire impossible, de maintenir constantes sur la totalité des unités expérimentales de l’expérience.
Les variations entre les blocs sont alors éliminés lorsque l’on compare les effets des facteurs.
Cette méthode peut être comparée à une analyse de variance à deux facteurs croisés. Le premier facteur étant le facteur étudié, le second se rapportant aux blocs.
Si toutes les situations sont représentées dans l'expérience réalisée, on dit qu'on utilise un plan à blocs complets; si ce n'est pas le cas, c'est un plan à blocs incomplets.

Exemple : si on compare le rendement de quatre variétés de maïs en les semant sur un lot de parcelle (six par exemple); les différences de fertilité de ces dernières vont introduire une variabilité parasite, nuisible pour la comparaison. L'idéal serait de découper chaque parcelle en quatre, de répartir aléatoirement chaque variété dans chaque quart pour comparer la productivité de chaque espèce de maïs au sein de chaque parcelle, et finalement résumer ces six comparaisons en une seule conclusion.

La figure suivante montre l'arrangement aléatoire des 4 variétés de maïs dans 6 parcelles.

Une analyse de variance à deux facteurs (le premier facteur correspond au rendement; le second à l'effet bloc) pourra nous dire si, après élimination des effets de bloc, il existe une différence significative entre les variétés de maïs.

- La méthode des carrés latins
Le carré latin est un dispositif qui permet de contrôler l'hétérogénéité du matériel expérimental dans deux directions.
Dans certaines expériences, il arrive qu'une série de k traitements soit donnée à des sujets à des moments différents (ou à des endroits différents du corps s'il s'agit de crèmes), et que l'ordre (ou le lieu d'application) dans lequel est donnée la séquence soit potentiellement important. Il est alors indispensable de tenir compte dans l'analyse d'un effet "ordre (ou lieu) d'administration" et faire attention à ce que chaque traitement soit donné de façon équilibrée en 1^ère , 2^ème, ..., k^ème position. L'utilisation des carrés latins répond à cet impératif.

Prenons l'exemple de 4 traitements donnés à 4 moments différents de la journée. Les sources d'erreur sont :
- les moments de la journée
- l'ordre d'administration

Dans la figure suivante sont représentés par des lettres les 4 traitements. Les lignes du tableau représente les moments; les colonnes, l'ordre.

Chaque traitement doit apparaître une fois dans chaque ligne et dans chaque colonne. Dans un carré latin, le nombre de lignes doit être égal au nombre de colonnes. Ainsi le carré latin sera toujours de type 3 x 3 ou 4 x 4 …
Pour un carré latin 3 x 3, il y a donc 12 configurations possibles; pour un carré latin 4 x 4, 576; pour un carré latin 5 x 5, 161.280 combinaisons différentes …
La méthode des carrés latins est assimilée à une analyse de variance à trois facteurs. En effet, le premier facteur est le facteur traitement; les deux autres correspondent aux sources d'erreur (facteur ligne et facteur colonne).
En résumé :

3. LA REGRESSION SIMPLE

La droite d'une régression linéaire peut s'écrire :

Y = aX + b + e

avec Y : la variable à expliquer ou la variable dépendante,
X : la variable estimée ou la variable indépendante et e : les erreurs également appelées
les résidus qui correspondent aux différences entre les valeurs réelles de la variable dépendante Y et son estimation Y_i.

Pour valider ce modèle, il faut vérifier au préalable les quatre conditions suivantes :

• 1: la linéarité du modèle.
• 2 : les résidus doivent suivre une distribution normale.
• 3 : les résidus doivent avoir une moyenne nulle et une variance constante et égale à s ² (= homoscédasticité)
• 4 : il ne doit pas y avoir d'auto-corrélation entre les résidus.

Les tests ou graphiques couramment utilisés sont :

• pour vérifier l'hypothèse 1 de linéarité, l'étude du coefficient de détermination R². Il se définit comme étant la proportion de la variabilité de Y expliquée par X ou encore comme étant le rapport : information due au modèle de régression sur l'information totale de la distribution Y.
• pour vérifier les hypothèses 2, la normalité des erreurs peut être étudiée soit par un test de Kolmogorov-Smirnov, soit plus généralement graphiquement. L'analyse graphique peut se faire de trois manières différentes :

  • par un histogramme

  • par la droite de Henry : pour valider cette hypothèse, il faut que les points forment une droite pratiquement parfaite.

  • par l'analyse des résidus en étudiant le graphe Y_i - Y_estimé = f(X) (équivalent à tracer les résidus (Y_i - Y_estimé) en fonction de Y_estimé car Y_estimé est également une fonction linéaire de X).

Si le modèle choisi est adéquat, les résidus sont distribués uniformément sur une bande horizontale du graphique entre les valeurs de -2 et de +2 : ce qui correspond à 95% de l'échantillon (référence à +1.96 et -1.96 de la distribution normale).
Ce graphe des résidus permet de confirmer également l'hypothèse 3. Le graphique peut prendre des allures différentes. Les trois figures ci-dessous montrent que:
1°) la variance s ² n'est pas constante. Dans ce cas, il est nécessaire d'effectuer une transformation des données Yi avant d'effectuer l'analyse de régression.
2°) le modèle choisi est inadéquat (le modèle est linéaire, mais on a par exemple omis le terme constant alors que celui-ci est nécessaire)
3°) le modèle choisi est inadéquat (tendance parabolique)

Remarques :

• ce sont ici les résidus réduits qui correspondent au rapport des résidus sur l'écart-type résiduel.
• si les hypothèses de normalité et d'homoscédasticité ne sont pas respectées, on peut améliorer la régression :
  • en transformant les données (par exemple Y = log₁₀ X). Ce changement de variable conduit à une distribution normale des la variable transformée Y mais l'interprétation est ensuite plus difficile,
  • en introduisant une ou plusieurs variables explicatives, ce qui revient à faire une régression multiple,
  • en éliminant les individus statistiquement aberrants.

• Pour l'hypothèse d'auto-corrélation qui n'est en pratique valable que pour des séries temporelles, il faut faire un test de Durbin-Watson (0 = d = 4). Si d est voisin de 0, il y a corrélation entre les résidus. Si d est voisin 4, il n'y a pas de corrélation.

4. La régression multiple :

L'équation de la régression est : Y = X₁ + X₂ + X₃ + ... + X_j + e

Condition de validité :
Une régression multiple doit le plus possible s'approcher de ces conditions

• Linéarité : chaque régresseur doit être en liaison linéaire avec la variable à expliquer Y. si cette condition n'est pas remplie, il faut procéder à une transformation de la variable explicative si cela est possible et souhaitable (l'ajustement est meilleur mais l'interprétation ...)
• Absence de colinéarité entre régresseurs : on ne doit pas pouvoir déduire l'une des variables explicatives des autres (notion de redondance). Si c'est le cas, il faut enlever un des régresseurs, on ne perd ainsi aucune information.
• Homoscédasticité et normalité des résidus : les résidus doivent avoir même variance et être distribués selon une loi normale. Ceci peut se vérifier graphiquement.
• Test de significativité du coefficient de corrélation multiple : ce coefficient doit être supérieur au seuil de signification pour un risque d'erreur a fixé. On calcule :

F =
p : nombre de variables explicatives , n : nombre de valeurs de chaque variable

Si F calculé est supérieur à F lu dans la table de Fisher-Snedecor pour n ₁ = p et n ₂ = n-p-1 degrés de liberté, le coefficient de corrélation multiple est significatif pour a donné.

- Significativité de chaque régresseur :

R peut se révéler significatif alors que l'équation de régression contient un ou plusieurs variables explicatives inutiles. Le test des coefficients de corrélation partielle permet de détecter les variables qui peuvent être rejetées. Un coefficient de corrélation partielle se teste comme un coefficient de corrélation simple avec n-p-1 degrés de liberté.

5. L'ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (ACP)

C'est une technique descriptive qui permet de faire la synthèse de l'information contenue dans un grand nombre de variables.
But de l'ACP :
Il est aisé de représenter les observations d'une variable (sur une droite), de deux variables (dans un plan), de trois variables (en faisant de la géométrie dans l'espace) mais l'étude devient impossible lorsque le nombre de variables est supérieur à trois.
Le but de la méthode est la réduction des dimensions de l'espace de représentation des données en projetant le nuage de points dans un ou plusieurs graphiques plan, en essayant de limiter la perte d'informations au cours de cette réduction. Les "composantes principales" seront des nouvelles variables, indépendantes, combinaisons linéaires des variables initiales, possédant une variance maximum.
Cette technique ne s'applique qu'à des variables quantitatives. Pour des variables qualitatives, on utilisera plutôt les analyses des correspondances multiples.
La première étape d'une analyse en composantes principales est de centrer et réduire l'ensemble des variables. En effet, dans la plupart des cas, les données à analyser sont hétérogènes tant du point de vue des ordres de grandeur que des échelles de utilisées.
Le centrage consiste à soustraire à chaque valeur la moyenne de la variable correspondante et la réduction s'effectue en divisant chacune des valeurs du tableau par l'écart-type correspondant. Ce procédé permet de donner la même importance à toutes les variables quelles que soient les échelles de mesure dans lesquelles elles sont exprimées. Cette opération est indispensable lorsqu'on est en face à des unités de mesure différentes.
Les ACP fournissent généralement dans un premier temps la matrice de corrélation que l'on est pas obligé d'examiner car il y a souvent beaucoup de données (pour 10 variables étudiées, il y aura 100 coefficients de corrélation).
La deuxième étape est l'examen des pourcentages d'inertie fournis avec les valeurs propres (ces dernières peuvent être utiles essentiellement pour calculer les coordonnées de nouvelles composantes principales). C'est une étape importante car elle permet de savoir sur quels axes se trouve le maximum d'informations et de choisir le nombre d'axes à étudier.
Le pourcentage d'inertie d'un axe est synonyme de pourcentage d'information totale retrouvée sur cet axe. Il est évident qu'à la suite de chacune des projections du nuage de points sur les différents axes, le pourcentage d'information va dans le sens d'une diminution.
Au pourcentage d'inertie est associé le pourcentage d'inertie cumulée. C'est ce paramètre qu'il faut tenir compte pour le choix du nombre d'axes. Par exemple, sur les trois premiers axes il y a 82% d'inertie cumulée (50% sur l'axe 1, 20% sur l'axe 2 et 12% sur l'axe 3) soit 82% des informations se retrouvent sur les axes 1, 2 et 3. Généralement, on ne tient compte que des axes regroupant 80% d'information totale. Dans cet exemple là, on étudiera les plans (1,2) appelé aussi plan principal, (1,3) et (2,3). Il faudra alors rester prudent lors des interprétations car nous ne sommes pas en présence de toutes les informations sur les axes choisis.

Les logiciels spécifient ensuite pour chaque variable et pour chaque individu sa coordonnée, sa qualité de représentation et sa contribution par rapport à chacun des axes factoriels.

* les variables :

• les coordonnées sur les axes factoriels : Les axes factoriels obtenus par l'analyse en composantes principales sont des combinaisons linéaires de l'ensemble des variables analysées. La coordonnée d'une variable sur un axe factoriel donné est représentée par la projection de cette variable sur l'axe qui n'est autre que le coefficient de corrélation entre la variable et cet axe. Les coordonnées varient donc entre -1 et +1 : des valeurs absolues élevées traduisent une forte ressemblance entre les distributions induites par la variable et l'axe factoriel, des valeurs faibles indiquent au contraire une absence de relation linéaire entre la variable et l'axe. La figure ci-dessous permet de donner une interprétation géométrique à la signification de ces corrélations. Les variables VAR1 et VAR3 sont bien corrélées avec l'axe k, la première positive et la seconde négative puisqu'elle a un sens opposé à celui de l'axe. La variable VAR2, perpendiculaire à l'axe k aura en revanche une coordonnée nulle. La corrélation traduit la proximité géométrique entre les vecteurs caractérisant les variables et l'axe.
  L'ensemble des variables ayant des coordonnées relativement importantes servent à établir sa signification. Ainsi, dans l'exemple représenté sur la figure, le côté positif de l'axe k est caractérisé par des valeurs particulièrement élevées de la variable VAR1 et faibles de la variable VAR3. Les propriétés inverses s'appliquent au côté négatif de l'axe. La variable VAR2, avec une coordonnée nulle sur cet axe, n'intervient pas dans son interprétation.

• La qualité de représentation d'une variable par un axe : Elle est donnée par le carré de sa coordonnée sur cet axe. Chacun de ces carrés représente la part de la variable expliquée par l'axe associé. L'addition des carrés des coordonnées d'une variable sur l'ensemble des axes est égale à 1.

Exemple numérique : supposons que l'on relève les coordonnées et qualités de représentation suivantes pour une variable V dans une analyse relative à un espace de 4 dimensions :

Le premier axe, avec une corrélation de 0.71 rend compte de 50% de la dispersion de la variable V, le deuxième axe, avec une corrélation négative de -0.50 concentre 25%, le troisième 5% et le quatrième 20%. Ainsi, la moitié de l'information relative à la variable V est concentrée sur le premier axe, les axes 2 et 4 rendant compte ensemble de la majeure partie de l'autre moitié.
La qualité de représentation d'une variable par un groupe d'axe s'obtient en additionnant les valeurs relatives à chacun des axes. Ainsi, le premier plan factoriel concentre 75% de l'information relative à la variable V dans l'exemple ci-dessous.

- La contribution d'une variable à un axe :

La somme des carrés des coordonnées de l'ensemble des variables sur l'axe est égale à la valeur propre associée à l'axe. La contribution de chaque variable s'obtient en effectuant le rapport entre le carré de sa coordonnée et la valeur propre. Les contributions mesurent donc les rôles relatifs joués par chacune des variables dans la formation de l'axe, et l'addition de toutes les contributions vaut 1.
En règle générale, on examine les contributions à l'élaboration des axes : pour p variables, seules on considérera sur un axe k les variables possédant des contributions supérieures à 1/p (ce qui signifie que ce sont essentiellement ces variables qui auront contribué à la formation de cet axe k).

* Les individus :

• les coordonnées des individus sur les axes factoriels :
  L'analyse des coordonnée permet de situer les individus par rapport au système d'axes factoriel et de mettre en évidence des ressemblances ou des oppositions entre des groupes d'individus par rapport aux combinaisons de variables définies par les axes.

• les contributions des individus aux axes factoriels :
  De la même manière que pour les variables, les individus contribuent différemment à la formation de chaque axe factoriel. Ces valeurs sont surtout utiles pour détecter des individus aberrants : par exemple, un individu avec une contribution de 82.4% sur un axe k peut être considérer comme aberrant. Cela a pour conséquence de fausser l'étude et il serait alors conseiller de faire une deuxième analyse en mettant ces individus en éléments supplémentaires.

• La qualité de représentation des individus sur les axes factoriels :
  Elle est mesurée par le cosinus carré de l'angle a formé par le vecteur GC avec l'axe k.
  Plus la valeur sera proche de l'unité, meilleure sera la représentation de l'individu sur un axe.

TABLE DE STUDENT

Ci-dessous, je donne les valeurs de la loi de Student pour un risque d'erreur a = 5% et a = 1%. Pour un échantillon de taille n, il faudra prendre n-1 degrés de liberté.

TABLE DE BRAVAIS - PEARSON

Si r calculé est supérieur à r lu dans la table, on conclut qu'il existe une corrélation linéaire significative, avec un risque a fixé.

r se lit en fonction du degré de liberté ; ddl = n - p -1 où n : nombre de couples ; p : nombre de variables explicatives
(une seule dans le cas d'une corrélation simple)

TABLE DE SPEARMAN

La table fournit les valeurs critiques au-delà desquelles les coefficients de corrélation de Spearman obtenus sont significatifs. Pour des échantillons de taille n, on prendra n comme degrés de liberté.

Calcul de :

A = B =

C = - 1 D =

E = F =

=

avec b₁ : estimation du coefficient d'asymétrie de Pearson b ₁

=

g₁ = = : estimation du coefficient d'asymétrie de Fisher g ₁

k₃ : estimation de m ₃ moment de la moyenne d'ordre 3

k₃ = =

Calcul de : =

H = G =

J = K =

L =

avec g₂ estimation du coefficient d'aplatissement de Pearson b ₂

g₂ = =

k₄ : estimation de m ₄ moment de la moyenne d'ordre 4

k₄ =

=

BIBLIOGRAPHIE

(en gras les livres conseillés)

• Bertrand M. & Charles B. (1987) - Initiation à la statistique et aux probabilités - Eyrolles.
• Centre d'Enseignants et de Recherche de Statistique Appliquée (1986) - Aide-mémoire pratique des techniques statistiques pour ingénieurs et techniciens supérieurs - Ceresta.
• Dagnelie P. (1986) - Théorie et méthodes statistiques (vol.2) - Presses Agronomiques de Gembloux.
• Falissard B. (1996) - Comprendre et utiliser les statistiques dans les sciences de la vie -Masson.
• Geller S. (1983) - Statistiques - Masson.
• Groupe Chadule (Chamussy E., Charre J., Dumolard P., Durand M.G. & Le Berre M.) (1987) - Initiation aux pratiques statistiques en géographie - Masson.
• Py B. (1990) - Statistique descriptive - Economica.
• Sanders L. (1989) - L'analyse des données appliquée à la géographie - Collection Alidade.
• Zar J.H. (1996) - Biostatistical Analysis - Prentice Hall International Editions.